Cho bất phương trình \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+\left( 3m+2 \right){{\left( \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}+3m>0\). Đặt \(t={{\left( \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right)}^{x}}\), do \(x\le 0\) nên \(0<t\le 1\).

Tìm tham số m sao cho \({{t}^{2}}+3mt+3m+2>0\), đúng với mọi \(0<t\le 1\).

\(m>\frac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3} \Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,\frac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3}\). Ta tìm GTLN của hàm số \(f\left( t \right)=-\frac{{{t}^{2}}+2}{3t+2}\) trên \(0<t\le 1\).

Ta có \({f}'\left( t \right)=-\frac{1}{3}.\frac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1-\sqrt{3} \\ & t=-1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\).

Lập bảng biến thiên ta được

Do đó \(\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,\frac{-{{t}^{2}}-2}{3t+3}=f\left( -1+\sqrt{3} \right) =\frac{2-2\sqrt{3}}{3}\).

Nên \(m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;...;2021 \right\}\) suy ra có 2022 giá trị.