Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúg một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\fra

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(z\ne 4\)

Gọi \(z=x+iy\) với \(x,y\in \mathbb{R}, \left( x,y \right)\ne \left( 4;\,0 \right)\), ta có

\(\frac{z}{z-4}=\frac{x+iy}{x-4+iy}=\frac{\left( x+iy \right)\left( x-4-iy \right)}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

là số thuần ảo khi \(x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)

Mà \(\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36\)

Ta được hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 36\\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 2m} \right)x = 36 - {m^2}\\ {y^2} = 4 - {\left( {x - 2} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}}\\ {y^2} = 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} \end{array} \right.\)

Ycbt \( \Leftrightarrow 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = 2\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 4\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 0 \end{array} \right.\)

Ta loại trường hợp \(\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=4\) vì khi đó x=4 và y=0.

Suy ra \(m=\pm 6\)

Vậy tổng các giá trị của mlà 6-6=0.