Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}} \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1\)(*).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1\) với \(t\in \mathbb{R}\).

Ta có: \({f}'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\).

Khi đó \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}}\).

Bảng biến thiên

Phương trình (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f\left( {{t}_{0}} \right)\Leftrightarrow -\sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}-1\le m\le \sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}-1\Rightarrow -2,068\le m\le 0,068\).

Do \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;\,-1;\,0 \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.