Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm x=1 và thỏa mãn \(\left[ f\left( x \right)+1 \right]\) và \(\left[...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) theo giả thiết có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) + 1 = a{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + m} \right)}\\ {f\left( x \right) - 1 = a{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x + n} \right)} \end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( 1 \right) + 1 = 0}\\ {f\left( { - 1} \right) - 1 = 0}\\ {f\left( 0 \right) = 0}\\ {f'\left( 1 \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + b + c + d + 1 = 0}\\ { - a + b - c + d - 1 = 0}\\ {d = 0}\\ {3a + 2b + c = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = \frac{1}{2}}\\ {b = 0}\\ {c = - \frac{3}{2}}\\ {d = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x} \right.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 1\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm \sqrt 3 } \end{array}} \right.\)

S₁ là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x\), y = -1, x = 0,x = 1

\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x + 1} \right| = \frac{3}{8}} \) (1)

S₂ là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(y = \frac{1}{3}{x^2} - \frac{3}{2}x\), \(y = 0,x = 1,x = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_2} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left| {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}x} \right| = \frac{1}{2}} \)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow 2{S_2} + 8{S_1} = 2.\frac{1}{2} + 8.\frac{3}{8} = 4\)