Cho các số phức z và \(\text{w}\) thỏa mãn \(\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{z}{\text{w}}+2+3i\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| \text{w}+2+3i \right|\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{z}{\text{w}}+2+3i \Leftrightarrow \left( \left| z \right|-2 \right)+\left( 2\left| z \right|-3 \right)i=\frac{z}{\text{w}}\)

Lấy modul hai vế: \(\sqrt{{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-3 \right)}^{2}}}=\frac{\left| z \right|}{\left| \text{w} \right|}\)

Đặt \(t=\left| z \right|\) điều kiện t>0. Khi đó phương trình trở thành: \(\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}=\frac{t}{\left| \text{w} \right|}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\left| \text{w} \right|}=\frac{\sqrt{{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}}{t}=\sqrt{\frac{5{{t}^{2}}-16t+13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{5-\frac{16}{t}+\frac{13}{{{t}^{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{13}+13{{\left( \frac{8}{13}-\frac{1}{t} \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow \left| \text{w} \right|\le \sqrt{13}\).

Khi đó \(T=\left| \text{w}+2+3i \right|\le \left| \text{w} \right|+\left| 2+3i \right|\le \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & \left| \text{w} \right|=\sqrt{13} \\ & \left| z \right|=\frac{13}{8} \\ \end{align} \right.\)