Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ

* Hướng dẫn giải

Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, ${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$ lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).

Khi đó ta có:

V = ${\mathrm{V}}_{\mathrm{MBCD}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MCDA}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MDAB}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MABCV}}$

= S(${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$)/3

Từ đó suy ra ${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$ = 3V/S