Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít

* Hướng dẫn giải

Lấy một đỉnh B tùy ý của hình đa diện (H). Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là một mặt của hình đa diện (H) chứa B. Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi ${\mathrm{M}}_2$ là mặt khác với ${\mathrm{M}}_1$ và có chung cạnh AB với ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó ${\mathrm{M}}_2$ còn có ít nhất một đỉnh D sao cho A, B, D là ba đỉnh khác nhau liên tiếp của ${\mathrm{M}}_2$. Nếu D ≡ C thì ${\mathrm{M}}_1$ và ${\mathrm{M}}_2$ có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lí. Vậy D phải khác C. Do đó qua đỉnh B có ít nhất ba cạnh BA, BC và BD.