Có bao nhiêu các số nguyên dương của tham số m để bất phương trình: \(\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)...

* Hướng dẫn giải

\(\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0\Leftrightarrow \left( {{9.3}^{x}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0\).

Đặt \(t={{3}^{x}},\text{ }t>0\)

Ta được \(\left( 9.t-\sqrt{3} \right)\left( t-2m \right)<0\).

TH1: \(2m<\frac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m<\frac{\sqrt{3}}{18}\), khi đó: \(2m<t<\frac{\sqrt{3}}{9}\) mà \(t>0,t\in \mathbb{Z}\) suy ra không có t thỏa.

TH2: \(2m>\frac{\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow m>\frac{\sqrt{3}}{18}\), khi đó: \(\frac{\sqrt{3}}{9}<t<2m\) thỏa mãn mà t>0

\(\frac{\sqrt{3}}{9}<{{3}^{x}}<2m\Leftrightarrow \frac{-3}{2}<x<{{\log }_{3}}2m\)

Để bất phương trình ban đầu có tập nghiệm chứa không quá 9 số nguyên thì

\(x\in \left\{ -1;0;...;7 \right\}\)

Suy ra: \({{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \frac{{{3}^{8}}}{2}\)

Mà m là số nguyên dương nên \(m\in \left\{ 1;2;3;...;3280 \right\}\).