Cho hàm số . Tích phân \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^0 {f\left( {{e^{3x + 1}}} \right){e^{3x}}dx} \) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {e^{3x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}dx \Leftrightarrow {e^{3x}}dx = \frac{3}{e}dt\)

Đổi cận \(x =  - \frac{1}{3} \Rightarrow t = 1\) ; \(x = 0 \Rightarrow t = e\).

Suy ra \(\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^0 {f\left( {{e^{3x + 1}}} \right){e^{3x}}dx} = \frac{3}{e}\int\limits_1^e {f\left( t \right)dt} = \frac{3}{e}\left( {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} + \int\limits_2^e {\frac{1}{x}dx} } \right) = \frac{3}{e}\left( {\frac{{17}}{6} - \ln 2} \right).\)