Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;2;-1 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x+y-2z+3=0\) . Đường t...

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có vtpt \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{z}{2}\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + h\\ y = 3 + h\\ z = 2h \end{array} \right.\)

Gọi \(H = d \cap \Delta  \Rightarrow H\left( {3 + h;3 + h;2h} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {2 + h;1 + h;2h + 1} \right)\)

Theo đề ta có \(\Delta \) song song với \(\,\left( \alpha  \right)\) nên:

\(\overrightarrow {AH} .\,\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow 2 + h + 1 + h - 4h - 2 = 0 \Leftrightarrow h = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2};2} \right)\)

VTCP của đường thẳng \(\Delta \) : \(\overrightarrow u  = \left( {5;3;4} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) : \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 5t\\ y = 2 + 3t\\ z = - 1 + 4t \end{array} \right.\).