Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ dưới đây ​ Hàm số \(y=\left| 4f\left( x \right)-2{{x}^{3}}+7{{x}^{...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right)=4f\left( x \right)-2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-8x+1\), ta có:

\({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{f}'\left( x \right)-6{{x}^{2}}+14x-8=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}x+2\text{ }\left( * \right)\).

Đường cong \(y={f}'\left( x \right)\) cắt parabol \(y=\frac{3}{2}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}x+2\) tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(x=0\,;x=1\,;x=2\). Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)

Và \({g}'\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua các điểm \(x=0\,;x=1;\,x=2\) nên \(g\left( x \right)\) có ba điểm cực trị.

Ta có bảng biến thiên

Suy ra phương trình \(g\left( x \right)=0\) có tối đa bốn nghiệm.

Vậy hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) có tối đa 3+4=7 điểm cực trị.