Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thỏa mãn 0 var DOMAI...

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm \(y=f\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(M=\max \left\{ f\left( 0 \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( d \right) \right\},m=\min \left\{ f\left( a \right),\,\,f\left( c \right) \right\}\)

Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0,\,\,x=a.\)

Gọi \({{S}_{2}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b.\)

Gọi \({{S}_{3}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=b,\,\,x=c.\)

Gọi \({{S}_{4}}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=c,\,\,x=d\)

Dựa vào hình vẽ ta có;

\({{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{a}^{0}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( 0 \right)-f\left( a \right)>f\left( b \right)-f\left( a \right)\Leftrightarrow f\left( 0 \right)>f\left( b \right)\).

\({{S}_{3}}>{{S}_{4}}\Leftrightarrow \int\limits_{c}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{c}^{d}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( b \right)-f\left( c \right)>f\left( d \right)-f\left( c \right)\Leftrightarrow f\left( b \right)>f\left( d \right).\)

Suy ra \(M=f\left( 0 \right)\).

\({{S}_{3}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{c}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( b \right)-f\left( c \right)>f\left( b \right)-f\left( a \right)\Leftrightarrow f\left( c \right)<f\left( a \right).\)

Suy ra \(m=f\left( c \right)\)

Vậy \(M+m=f\left( 0 \right)+f\left( c \right)\)