Trong khôg gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27\).

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1\,;\,-2\,;\,3 \right)\) và bán kính \(R=3\sqrt{3}\).

Vì \(\left( \alpha  \right):ax+by-z+c=0\) đi qua hai điểm \(A\left( 0\,;\,0\,;\,-4 \right), B\left( 2\,;\,0\,;\,0 \right)\) nên c=-4 và a=2.

Suy ra \(\left( \alpha  \right):2x+by-z-4=0\).

Đặt IH=x, với \(0<x<3\sqrt{3}\) ta có \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{27-{{x}^{2}}}\)

Thể tích khối nón là \(V=\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{r}^{2}}IH=\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( 27-{{x}^{2}} \right)x=\frac{1}{3\sqrt{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sqrt{\left( 27-{{x}^{2}} \right).\left( 27-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}}\le 18\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\).

\({{V}_{\max }}=18\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\) khi \(27-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=3\)

Khi đó, \(d\left( I\,;\,\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}=3\Leftrightarrow {{\left( 2b+5 \right)}^{2}}=9\left( {{b}^{2}}+5 \right)\Leftrightarrow b=2\).

Vậy a-b+c=-4.