Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}\) và...

* Hướng dẫn giải

\({5^{ - \left( {y + 4} \right)}} = {3^{\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| - {{\log }_3}5}} \ge {3^{ - {{\log }_3}5}} \Rightarrow {5^{ - \left( {y + 4} \right)}} \ge {5^{ - 1}} \Rightarrow  - \left( {y + 4} \right) \ge  - 1 \Rightarrow y \le  - 3.\)

Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Khi đó \(4\left| y \right| - \left| {y - 1} \right| + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8 \Leftrightarrow - 4y - \left( {1 - y} \right) + {y^2} + 6y + 9 \le 8 \Leftrightarrow {y^2} + 3y \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le y \le 0\).

Kết hợp với điều kiện \(y \le  - 3\) suy ra y =-3.

Với y = -3, ta có \(\left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Vậy có đúng 2 cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l} y = - 3\\ x = 3 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} y = - 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\).