Cho hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\). Tích phân \(I = \int\limits_{\ln \left( {\frac{e}{{e + 1}}} \right)}^{ - \ln \left( {e + 1} \right)} {\frac{1}{{1 + a{e^x}}}f\left( {\ln \...

* Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) có đạo hàm tại x₀ = 0 khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\\ f'\left( {{0^ + }} \right) = f'\left( {{0^ - }} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + a = 0\\ 1 = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 1 \end{array} \right.\)

Khi đó \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {e^x} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 0\\ - {x^3} + x\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0 \end{array} \right.\,\) nên \(I = \int\limits_{\ln \left( {\frac{e}{{e + 1}}} \right)}^{ - \ln \left( {e + 1} \right)} {\frac{1}{{1 - {e^x}}}f\left( {\ln \left( {{e^{ - x}} - 1} \right)} \right)dx} \).

Đặt \(t = \ln \left( {{e^{ - x}} - 1} \right) \Rightarrow dt = \frac{{ - {e^{ - x}}}}{{{e^{ - x}} - 1}}dx =  - \frac{1}{{1 - {e^x}}}dx \Rightarrow  - dt = \frac{1}{{1 - {e^x}}}dx\)

Đổi biến:

+ Với \(x = \ln \frac{e}{{e + 1}} \Rightarrow t =  - 1\)

+ Với \(x =  - \ln \left( {e + 1} \right) \Rightarrow t = 1\)

\(\begin{array}{l} I = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \\ = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3} + x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \frac{1}{4} - \left( {e - 2} \right) = \frac{9}{4} - e\\ \Rightarrow m = \frac{9}{4};n = 1 \Rightarrow P = 2m + \frac{n}{2} = 5. \end{array}\)