Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a, góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng \({{30}^{0}}\) (tham khảo hình vẽ). Thể...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là đường thẳng SB

\(\Rightarrow \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\widehat{BSC}\Rightarrow \widehat{BSC}={{30}^{0}}\).

Đặt \(AB=BC=x\left( x>0 \right)\).

\(\Delta SBC\) vuông tại B \(\Rightarrow \frac{BC}{SB}=\tan {{30}^{0}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow SB=x\sqrt{3}\).

\(\Delta SAB\) vuông tại A\(\Rightarrow S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow 3{{x}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\).

\({{S}_{ABCD}}={{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}\).