Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước \(12m\,\times \,6m\) như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là...

* Hướng dẫn giải

Phần không gian trong lều được tính bởi công thức thể tích hình lăng trụ đứng.

Ta có: \(V=h.{{S}_{\Delta ABC}}=12.{{S}_{\Delta ABC}}\). Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy ABC là lớn nhất.

Trong tam giác đáy ABC, vẽ đường cao AH. Ta có \(AH=\sqrt{9-\frac{{{x}^{2}}}{4}}.\)

Do đó diện tích: \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}x.\sqrt{9-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{1}{4}x\sqrt{36-{{x}^{2}}}.\)

Xét hàm \(S(x)=\frac{1}{4}x\sqrt{36-{{x}^{2}}}\) với \(x\in (0;6);\)

\({S}'(x)=\frac{1}{4}\left( \sqrt{36-{{x}^{2}}}+x\frac{-x}{\sqrt{36-{{x}^{2}}}} \right)=\frac{1}{4}.\frac{36-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}}{\sqrt{36-{{x}^{2}}}}\)

\({S}'(x)=0\Leftrightarrow 36-2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy với \(x = 3\sqrt 2 \left( m \right)\) thì thể tích lều là lớn nhất.