Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-2z-1=0\), \(\left( Q \right):2x+2y-4z+7=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}\). Đường thẳ...

* Hướng dẫn giải

Viết lại mặt phẳng \(\left( Q \right):x+y-2z+\frac{7}{2}=0\)

Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Phương trình của mặt phẳng \(\left( R \right)\) là: \(\left( R \right):x+y-2z+\frac{\frac{7}{2}-1}{2}=0\) ⇔ \(\left( R \right):x+y-2z+\frac{5}{4}=0\)

Ycbt: \(\Delta \in \left( R \right)\) và \(\Delta \cap d\equiv K\) ⇒ \(K\equiv d\cap \left( R \right)\). Khi đó, tọa độ của K là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\\ x + y - 2z + \frac{5}{4} = 0 \end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{15}}{2}\\ y = \frac{{11}}{4}\\ z = - \frac{7}{4} \end{array} \right.\)

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l} {{\vec u}_\Delta } \bot {{\vec u}_d}\\ {{\vec u}_\Delta } \bot {{\vec n}_{\left( R \right)}} \end{array} \right.\). Do đó \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là: \({\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_{\left( R \right)}};{{\vec u}_d}} \right] = \left( {1;5;3} \right)\)

Vậy phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{15}}{2} + t\\ y = \frac{{11}}{4} + 5t\\ z = - \frac{7}{4} + 3t \end{array} \right.\)

Cho \(t = \frac{1}{4}\) ⇒ \(M\left( { - \frac{{29}}{4};4; - 1} \right) \in \Delta \) ⇒ \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{29}}{4} + t\\ y = 4 + 5t\\ z = - 1 + 3t \end{array} \right.\).