Cho hs \(f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) và \(g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)\) cùng với x=-1;x=1 là hai điểm cực trị tron

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(g(x) = f\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right);f( - 1) =  - 3;f(1) =  - 1;\)

Suy ra \(g'(x) = {\left( {\left| {f(x)} \right|} \right)^\prime }.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = \frac{{f(x)f'(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ \left| {f(x)} \right| - m = 0\\ \left| {f(x)} \right| - m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.\)(*)

Mặt khác, \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right) \approx - 0.53,\\ x = {b_1} \in \left( {0;1} \right) \approx 0.65\\ x = {c_1} \in \left( {2;3} \right) \approx 2.8 \end{array} \right.\) nên các điểm \(x = {a_1};x = {b_1};x = {c_1}\) là các điểm cực trị của g(x).

Để hai điểm x =  - 1;x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số y = g(x) thì hai giá trị x đó phải là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.\\ \left| {f( - 1)} \right| = 3;\left| {f(1)} \right| = 1; \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 1\\ m + 2 = 3\\ m + 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1\\ m = 3 \end{array} \right.\)

- Với m = 3 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 3\\ \left| {f(x)} \right| = 5 \end{array} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm x =  - 1;x = 1 nên ta loại

- Với m = -1 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = - 1\\ \left| {f(x)} \right| = 1 \end{array} \right.\), tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không có nghiệm x = -1 nên ta loại

- Với m = 1 thì suy ra \(\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 1\\ \left| {f(x)} \right| = 3 \end{array} \right.\). Do hệ phương trình này có hai nghiệm x =  - 1;x = 1 nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - 1;0} \right)\\ x = 0\\ x = 1\\ x = b \in \left( {2;3} \right)\\ x = 3\\ x = - 1\\ x = 2\\ x = c \in \left( {3,4} \right) \end{array} \right.\). Do x = 0,x = 2 là nghiệm bội chẵn nên \(\left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - 1;0} \right)\\ x = 1\\ x = b \in \left( {2;3} \right)\\ x = 3\\ x = - 1\\ x = c \in \left( {3,4} \right) \end{array} \right.\) là 6 nghiệm bội lẻ.

Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số y = g(x) có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.