Xét các số phức \({{z}_{1}}=1+i,{{z}_{2}}=1-3i,{{z}_{3}}=4+i\) và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức \({{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}\) mà \(\frac{{{z}_{4}}-{{z}_{2}}}{{{...

* Hướng dẫn giải

Gọi A(1;1),B(1;-3),C(4;1) là các điểm biểu diễn của \({{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}\) và M là điểm biểu diễn của z.

Từ đó, ta thấy nếu gọi H,K,L là điểm biểu diễn của \({{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}\) thì H,K,L chính là hình chiếu của M lên các cạnh BC,CA,AB. Ta cần tìm \(\min (M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}}).\) Ta có

\(({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})(M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}})\ge {{(aMH+bMK+cML)}^{2}}\ge 4S_{ABC}^{2}\) nên

\(T\ge \frac{4S_{ABC}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{4\cdot {{6}^{2}}}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\frac{72}{25}.\)

trong đó BC=a=5,CA=b=3,AB=c=4. Đẳng thức xảy ra khi

\(\frac{MH}{a}=\frac{MK}{b}=\frac{ML}{c}\Rightarrow \frac{{{S}_{MBC}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{S}_{MCA}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{S}_{MAB}}}{{{c}^{2}}}\) và M nằm trong tam giác.

Từ đó dễ thấy M tồn tại nên z cũng tồn tại và \({{T}_{\min }}=\frac{72}{25}.\)