Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|.\)

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} |z + 2{|^2} = {(a + 2)^2} + {b^2};|z - 2{|^2} = {(a - 2)^2} + {b^2}\\ = > |z + 2{|^2} + |z - 2{|^2} = 2({a^2} + {b^2}) + 8 = 2|z{|^2} + 8 = 10 \end{array}\)

Ta có: \({{A}^{2}}={{(|z+2|+2|z-2|)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}})(|z+2{{|}^{2}}+|z-2{{|}^{2}})=50\).

Vì \(A\ge 0\) nên từ đó suy ra \(A\le \sqrt{50}=5\sqrt{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(5\sqrt{2}\).