Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với x,y nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \r...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x,y \in N*:x,y \le 2020\\ \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} > 0,\frac{{2y}}{{y + 2}} > 0 \end{array} \right. < = > \left\{ \begin{array}{l} x,y \in N*:x,y \le 2020\\ x > 3,y > 0 \end{array} \right..\)

BPT cho có dạng \((x-3)(y-2){{\log }_{2}}\left( \frac{x+4}{x-2}+1 \right)+(x+4)(y+2){{\log }_{3}}\left( \frac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0(*).\)

Xét y=1 thì (*) thành \(-(x-3){{\log }_{2}}\left( \frac{x+4}{x-3}+1 \right)+3(x+4){{\log }_{3}}\frac{2}{3}\le 0\), rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x>3 vì \(-(x-3)<0;{{\log }_{2}}\left( \frac{x+4}{x-3}+1 \right)>{{\log }_{2}}(0+1)=0,3(x+4)>0,{{\log }_{3}}\frac{2}{3}<0.\)

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ \((x;y)=(x;1)\) với \(4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.\)

Xét y=2 thì (*) thành \(4(x+4){{\log }_{3}}1\le 0,\) BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà \(4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}.\)

Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x;y) nữa.

Với y>2,x>3 thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra

Vậy có đúng 4034 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.