Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó \(BC\bot AI\) và \(BC\bot AA'\) nên \(BC\bot \left( AA'I \right)\Rightarrow BC\bot A'I.\) Vậy góc hợp bởi \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng AIA'.

Ta có \(AI=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3},AA'=2a\Rightarrow \tan AIA'=\frac{AA'}{AI}=\frac{2a}{a\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.\)

Mặt khác: \(1+{{\tan }^{2}}AIA'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}AIA'}\Rightarrow {{\cos }^{2}}AIA'=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}AIA'}=\frac{1}{1+\frac{4}{3}}=\frac{3}{7}\Rightarrow \cos AIA'=\frac{\sqrt{21}}{7}.\)