Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right).\) Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)...

* Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa \(mp\left( SBC \right)\) và \(mp\left( ABC \right)\) là \(SIA={{30}^{0}}.\)

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra \(d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=a.\)

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra \(AI=\frac{AH}{\sin {{30}^{0}}}=2a.\)

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x, mà AI là đường cao suy ra \(2a=x\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}}.\)

Diện tích tam giác đều ABC là \({{S}_{ABC}}={{\left( \frac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\)

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra \(SA=AI.\tan {{30}^{0}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{8{{a}^{3}}}{9}.\)