Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số \(y=\left| f\left( \frac{8x}{{{x...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\frac{8x}{{{x}^{2}}+1}.\)

Ta có: \(t'=\frac{-8{{x}^{2}}+8}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};t'=0\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow t\in \left[ -4;4 \right].\)

Xét hàm số: \(h\left( t \right)=f\left( t \right)+a-1,t\in \left[ -4;4 \right],\) ta có: \(h'\left( t \right)=f'\left( t \right).\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 4 \in \left[ { - 4;4} \right]\\ t = - 2 \in \left[ { - 4;4} \right]\\ t = 2 \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\)

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} \left| {h\left( t \right)} \right| = Max\left\{ {\left| {a + 5} \right|;\left| {a - 5} \right|} \right\}.\)

YCBT \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {a + 5} \right| \le 20\\ \left| {a - 5} \right| \le 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20 \le a + 5 \le 20\\ - 20 \le a - 5 \le 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 25 \le a \le 15\\ - 15 \le a \le 25 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 15 \le a \le 15\)

Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán.