Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ bằng -2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai \(N\left( 1;1 \right)\...

* Hướng dẫn giải

Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( -2;2 \right)\) và \(P\left( 4;0 \right).\) Suy ra \(d:x+3y-4=0\Rightarrow y=\frac{-1}{3}x+\frac{4}{3}.\)

Từ giả thiết ta có hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.\) Chú ý đồ thị hàm số tiếp xúc đường thẳng d tại x=-2.

\(\left\{ \begin{array}{l} 1 = - 8a + 4b - 2c\\ 0 = a + b + c\\ 12a - 4b + c = - \frac{1}{3}\\ d = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{{12}}\\ b = \frac{1}{4}\\ c = - \frac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{{12}}{x^3} + \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{3}x + 1.\)

Từ đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{13}}{6}.\)