Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 2;-2;4 \right),B\left( -3;3;-1 \right),C\left( -1;-1;-1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z+8=0.\) Xét điểm M thay đổi th...

* Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm thỏa mãn: \(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI} \right)+\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI} \right)-\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI} \right)=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left( 1;0;4 \right)\)

\(\Leftrightarrow I\left( 1;0;4 \right).\)

Khi đó, với mọi điểm \(M\left( x;y;z \right)\in \left( P \right),\) ta luôn có

\(T=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}\)

\(=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}\)

\(=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}.\)

Ta tính được \(2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}=30.\)

Do đó, T đạt GTNN \(\Leftrightarrow MI\) đạt GTNN \(\Leftrightarrow MI\bot \left( P \right).\)

Lúc này, \(IM=d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-0+2.4+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.\)

Vậy \({{T}_{\min }}={{2.6}^{2}}+30=102.\)