Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, \(AC=a\sqrt{3}\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng

* Hướng dẫn giải

Từ A kẻ \(AD\bot BC\) mà \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC\)

\(\Rightarrow BC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SBC \right)\) mà \(\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SD\)

\(\Rightarrow \) Từ A kẻ \(AE\bot SD\Rightarrow AE\bot \left( SBC \right)\)

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AE\)

Trong \(\vartriangle ABC\) vuông tại A ta có: \(\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}\)

Trong \(\vartriangle SAD\) vuông tại A ta có: \(\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{S}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{19}{12{{a}^{2}}}\Rightarrow AE=\frac{2a\sqrt{57}}{19}\)