Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left( 1+i \right)z+\overline{z}\) là số thuần ảo và \(\left| z-2i \right|=1\)?

* Hướng dẫn giải

Đặt z=a+bi với \(a,b\in \mathbb{R}\) ta có : \(\left( 1+i \right)z+\overline{z}=\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+a-bi=2a-b+ai\).

Mà \(\left( 1+i \right)z+\overline{z}\) là số thuần ảo nên \(2a-b=0\Leftrightarrow b=2a\).

Mặt khác \(\left| z-2i \right|=1\) nên \({{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-8a+3=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \Rightarrow b = 2\\ a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5} \end{array} \right.\)

Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.