Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}; {{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\) và mặt phẳn...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm. Gọi \(M=\Delta \cap {{d}_{1}}; N=\Delta \cap {{d}_{2}}\).

Vì \(M\in {{d}_{1}}\) nên \(M\left( 3-t\,;\,3-2t\,;\,-2+t \right)\),

vì \(N\in {{d}_{2}}\) nên \(N\left( 5-3s\,;\,-1+2s\,;\,2+s \right)\)

\(\overrightarrow{MN}=\left( 2+t-3s\,;\,-4+2t+2s\,;\,4-t+s \right), \left( P \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\);

Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow{n}\,,\,\overrightarrow{MN}\) cùng phương, do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 + t - 3s}}{1} = \frac{{ - 4 + 2t + 2s}}{2}\\ \frac{{ - 4 + 2t + 2s}}{2} = \frac{{4 - t + s}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} s = 1\\ t = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} M\left( {1\,;\, - 1\,;\,0} \right)\,\,\\ N\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right) \end{array} \right.\)

\(\Delta \) đi qua M và có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\).

Do đó \(\Delta \) có phương trình chính tắc là \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\).