Tập giá trị của x thỏa mãn \(\frac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2\,\left( x\in \mathbb{R} \right)\) là \(\left( -\infty ;a \right]\cup \left( b;c \right].\) Khi...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \({{6}^{x}}-{{4}^{x}}\ne 0\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\ne 1\Leftrightarrow x\ne 0.\)

Khi đó \(\frac{{{2.9}^{x}}-{{3.6}^{x}}}{{{6}^{x}}-{{4}^{x}}}\le 2\Leftrightarrow \frac{2.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-3.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 2\)

Đặt \(t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}},t>0\) ta được bất phương trình \(\frac{2{{t}^{2}}-3t}{t-1}\le 2\Leftrightarrow \frac{2{{t}^{2}}-5t+2}{t-1}\le 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < \frac{1}{2}\\ t > 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le \frac{1}{2}\\ 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{1}{2}\\ 0 < x \le {\log _{\frac{3}{2}}}2 \end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( -\infty ;{{\log }_{\frac{3}{2}}}\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}2 \right]\)

Suy ra \(a+b+c={{\log }_{\frac{3}{2}}}\frac{1}{2}+{{\log }_{\frac{3}{2}}}2=0.\)

Vậy \(\left( a+b+c \right)!=1\)