Trong khôg gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \

* Hướng dẫn giải

Tacó:\(A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}-A=0\) nên \(M\in \left( P \right):x+2y+2z-A=0\),

do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;1;1 \right)\) và bán kính R=3.

Tồn tại điểm M khi và chỉ khi \(d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \frac{|6-A|}{3}\le 3\Leftrightarrow -3\le A\le 15\)

Do đó, với M thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) thì \(A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\ge -3\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của \(\left( P \right):x+2y+2z+3=0\) với \(\left( S \right)\) hay M là hình chiếu của I lên \(\left( P \right)\). Suy ra \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) thỏa: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} + 3 = 0\\ {x_0} = 2 + t\\ {y_0} = 1 + 2t\\ {z_0} = 1 + 2t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ {x_0} = 1\\ {y_0} = - 1\\ {z_0} = - 1 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} + {z_0} =  - 1\)