Cho số phức \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}\) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đườn...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R};x\ne 0 \right)\)

Mặt khác \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}=i{{\left( x+yi \right)}^{2}}+2\left( x-yi \right)=2\left( x-xy \right)+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2y \right)i\)

Vì w là số thuần ảo nên x-xy=0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,{\rm{(L)}}\\ y - 1 = 0\,\,(N) \end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình y-1=0 (trừ điểm \(M\left( 0;1 \right)\)), do đó đường thẳng này đi qua điểm \(Q\left( 1;1 \right)\).