Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{4}^{\sin x}}+{{2}^{1+\sin x}}-m=0\) có nghiệm.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{2}^{\sin x}}\), điều kiện \(\frac{1}{2}\le t\le 2\)

Phương trình trở thanh \({{t}^{2}}+2t-m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t=m\)

Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\), ta có \(f'\left( t \right)=2t+2>0,\text{ }\forall t\in \left( \frac{1}{2};2 \right).\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\)

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\le m\le \underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\)

\(\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{2} \right)\le m\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow \frac{5}{4}\le m\le 8.\)