Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+2z+1=0, \left( Q \right):2x+y+z-1=0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\lef...

* Hướng dẫn giải

* Gọi I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Do \(I\in Ox\) nên ta có \(I\left( a;0;0 \right)\).

* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:

\(4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{  }\left( 1 \right)\)

* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:

\({{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{  }\left( 2 \right)\)

* Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:

\({{r}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{  }\left( 3 \right)\)

* Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất một nghiệm a với r>0 nên điều kiện là:

\({\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{2}\).