Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho \({{z}_{1}}\) và \(i{{z}_...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(S=\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=\left| z_{1}^{2}-{{\left( 2i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|\)

Gọi P là điểm biểu diễn của số phức \(2i{{z}_{2}}\)

Khi đó ta có \(\left| {{z}_{1}}-2i{{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP} \right|.\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP} \right|\)

\(\left| \overrightarrow{PM} \right|.\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2PM.OI\)

Do \(\widehat{MON}=30{}^\circ \) nên áp dụng định lí cosin ta tính ra được MN = 1. Khi đó \(\Delta OMP\) có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra \(\Delta OMP\) cân tại \(M\Rightarrow PM=OM=2\)

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho \(\Delta OMP\) ta có

\(O{{I}^{2}}=\frac{O{{M}^{2}}+O{{P}^{2}}}{2}-\frac{M{{P}^{2}}}{4}=7\)

Vậy \(S=2PM.OI=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}\)