Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}.\) Hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( P \righ...

* Hướng dẫn giải

Phương trình của tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=-1+2t \\ z=2-t \\ \end{matrix}. \right.\)

Gọi A là giao điểm của (P) và d. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=-1+2t \\ z=2-t \\ x+y+z-3=0 \\ \end{matrix} \right.\)

Suy ra \(A\left( 1;1;1 \right)\). Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)\), mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right)\)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P). Khi đó (Q) có vec-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 3;-2;-1 \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra vec-tơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=\left( 1;4;-5 \right).\)

Vậy hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-5}.\)