Cho hàm số Tính \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \)

* Hướng dẫn giải

+ Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \). Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {\left( {5 - t} \right)dt} = \left( {5t - \frac{{{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l} ^1\\ _0 \end{array} \right. = \frac{9}{2}\)

+ Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \). Đặt \(t = 3 - 2x \Rightarrow dt =  - 2dx \Rightarrow dx = \frac{{ - dt}}{2}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 3\\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} = \int\limits_3^1 {f\left( t \right).\frac{{ - dt}}{2}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 3} \right)dt} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l} ^3\\ _1 \end{array} \right. = \frac{{22}}{3}\)

Vậy \(I = 2.\frac{9}{2} + 3.\frac{{22}}{3} = 31\)