Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right)=1\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y=4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a\)

\({y}'=\cos x\left[ 4{f}'\left( \sin x \right)-4\sin x \right]\).

Ta thấy, \(\cos x>0, \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) và y=x vẽ trên cùng hệ trục tọa độ như sau:

Từ đồ thị ta có \({f}'\left( x \right)<x,\,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow {f}'\left( \sin x \right)<\sin x,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Suy ra \({y}'<0,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên thì ycbt \(\Leftrightarrow 4f\left( 1 \right)-1-a\ge 0\Leftrightarrow a\le 4f\left( 1 \right)-1=3\).

Vì a là số nguyên dương nên \(a\in \left\{ 1;2;3 \right\}\).