Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 3000\) và \(3\left( {{9}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2\)?

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=t\Rightarrow x={{3}^{t}}-1\).

Phương trình trở thành:

\(3\left( {{3}^{2y}}+2y \right)={{3}^{t}}-1+3t-2\Leftrightarrow {{3}^{2y}}+2y={{3}^{t-1}}+\left( t-1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)={{3}^{u}}+u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{3}^{u}}.\ln 3+1>0\) nên hàm số luôn đồng biến.

Vậy để \(f\left( 2y \right)=f\left( t-1 \right)\Leftrightarrow 2y=t-1\Leftrightarrow 2y+1=t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\)

\(\Rightarrow 0\le 2y+1\le {{\log }_{3}}3001\Rightarrow 0\le 2y+1\le 6\Rightarrow y=\left\{ 0;1;2 \right\}\)

Với mỗi nghiệm y ta tìm được một nghiệm x tương ứng.