Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\left[ -4\ ;\ 4 \right]\), có các điểm cực trị trên \(\left( -4\ ;\ 4 \right)\) là -3; \(-\frac{4}{3}\); 0; 2 và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y = g(x) = f({x^3} + 3x) + m\).

\(g'(x) = (3{x^2} + 3)f'({x^3} + 3x)\).

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'({x^3} + 3x) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} + 3x = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^3} + 3x = - \frac{4}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ {x^3} + 3x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\ {x^3} + 3x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^3} + 3x\) như sau:

Từ bảng biến thiên trên, ta có:

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \({{x}_{1}}\in \left( -1\ ;\ 0 \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \({{x}_{2}}\in \left( -1\ ;\ 0 \right), \left( {{x}_{2}}>{{x}_{1}} \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất x=0.

Phương trình \(\left( 4 \right)\) có nghiệm duy nhất \({{x}_{3}}\in \left( 0;1 \right)\)

Bảng biến thiên hàm số y=g(x):

\(\underset{\left[ 0\ ;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,g(x)=3+m=4 \Leftrightarrow m=1\). Suy ra \({{m}_{1}}=1\).

\(\underset{\left[ -1\ ;\ 0 \right]}{\mathop{\min }}\,g(x)=-1+m=-2 \Leftrightarrow m=-1.\) Suy ra \({{m}_{2}}=-1\)

Vậy \({{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0\).