Cho hai đường thẳng: d: x = 6 y = -2t z = 7 + t và d1 x = -2 + t' y = -2 z = -11 - t'

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (0; −2; 1). Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (1; 0; −1).

Do d và ${\mathrm{d}}_1$ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, ${\mathrm{d}}_1$ và song song với d và ${\mathrm{d}}_1$.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2; -11 – t’) thuộc ${\mathrm{d}}_1$. Khi đó: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (−8 + t′; −2 + 2t; −18 – t − t′)

Ta có: 

Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (−12; −6; −12). Chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và ${\mathrm{d}}_1$ là:

 = (2; 1; 2)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

 $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}\wedge \left(\overrightarrow{\mathrm{a}}\wedge \overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$

Phương trình của (Q) là : –5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0 hay –5x + 2y + 4z + 2 = 0

Để tìm ${\mathrm{d}}_1\cap$ (Q) ta thế phương trình của ${\mathrm{d}}_1$ vào phương trình của (Q). Ta có:

–5(–2 + t′) + 2(–2) + 4(–11 – t′) + 2 = 0

⇒ t′ = 4

⇒ ${\mathrm{d}}_1\cap$ (Q) = B(−6; −2; −7)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa ${\mathrm{d}}_1$ và đường vuông góc chung AB. Khi đó: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{R}}}$ = (−1; 4; −1)

Phương trình của (R) là –x + 4y – z – 5 = 0.

Suy ra d $\cap$ (R) = A(6; 4; 5).