Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Gọi S là tích các chữ số được chọn. Xác suất để S>0 và chia hết cho 6 bằng

* Hướng dẫn giải

+) Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng \(\overline{abc},\ \ a\ne 0\)

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega\right)=9.9.8=648\).

+) Gọi A là biến cố: “Chọn được số có S>0 và S chia hết cho 6”.

Ta có: S=a.b.c>0 nên ba chữ số \(a,~b,~c\) khác 0.

Mặt khác S=a.b.c chia hết cho 6 nên xảy ra một trong các TH sau:

+) TH1: Trong 3 chữ số \(a,~b,~c\) có chữ số 6.

- Chọn vị trí cho chữ số 6: có 3 cách.

- Chọn 2 chữ số trong tập \(\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 7;\ 8;\ 9 \right\}\) và xếp vào 2 vị trí còn lại: có \(A_{8}^{2}\) cách.

\(\Rightarrow \) có \(3.A_{8}^{2}=168\).

+) TH2: Trong 3 chữ số a,b,c không có chữ số 6.

Khi đó để a.b.c chia hết cho 6 ta cần có ít nhất 1 chữ số chia hết cho 2 thuộc tập \(\left\{ 2;4;8 \right\}\) và ít nhất 1 chữ số chia hết cho 3 thuộc tập \(\left\{ 3;9 \right\}\). Có các khả năng sau:

- Trong 3 chữ số a,b,c có một chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3 và một chữ số thuộc tập \(\left\{ 1;5;7 \right\}\): có \(C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}.3!=108\).

- Trong 3 chữ số a,b,c có 2 chữ số chia hết cho 2, một chữ số chia hết cho 3: có \(C_{3}^{2}.2.3!=36\).

- Trong 3 chữ số a,b,c có 1 chữ số chia hết cho 2 và 2 chữ số chia hết cho 3: có \(C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!=18\).

Suy ra \(n\left( A \right)=168+108+36+18=330\)

Vậy \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{330}{648}=\frac{55}{108}\).