Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Chứng

* Hướng dẫn giải

Ta có O là tâm của hình hộp chữ nhật AC'BD'.A'C'B'D nên nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ O đến (ABC) và (ABD). Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC, tương tự KA = KB = KD. Vì ΔABD = ΔBAC nên HA = KA. Do đó OH = OK. Tương tự, ta chứng minh được khoảng cách từ O đến các mặt của tứ diện ABCD bằng nhau nên O cũng là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Khi đó ta có ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{OABC}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{OBCD}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{OCDA}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{ODAB}}$

= $4{\mathrm{V}}_{\mathrm{OABC}}=4\mathrm{r}\text{'}{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}/3$

Do đó:

Trong đó