Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=m{{x}^{3}}-({{m}^{2}}+1){{x}^{2}}+2x-3\) đạt cực tiểu tại điểm x=1.

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

+ \({y}'=3m{{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2\).

+ \({{y}'}'=6mx-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)\).

Hàm số đã cho là hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên ta có :

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'\left( 1 \right) = 0\\ y''\left( 1 \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m - 2\left( {{m^2} + 1} \right) + 2 = 0\\ 6m - 2\left( {{m^2} + 1} \right) > 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m^2} - 3m = 0\\ {m^2} - 3m + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\\ {m^2} - 3m + 1 < 0\,\left( * \right) \end{array} \right.\)

Ta thấy chỉ có \(m=\frac{3}{2}\) thỏa mãn \(\left( * \right)\).

Vậy \(m=\frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.