Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(AB=a,\,AD=a\sqrt{3},\,SA=2a\sqrt{2}\) (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(CB\bot AB\) và \(CB\bot SA\) (vì \(SA\bot \left( ABCD \right)\)) , suy ra \(CB\bot \left( SAB \right)\) tại B.

Ta có \(\left\{ \begin{matrix} CB\bot \left( SAB \right) \\ B\in \left( SAB \right)\text{ } \\ S\in \left( SAB \right)\text{ } \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \) đường thẳng SB là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng \(\left( SAB \right)\).

Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\widehat{CSB}\).

Xét \(\Delta CSB\) vuông tại B, ta có

\(\tan \widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSB}=30{}^\circ \).