Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{13}\) và \(\left( z-2i \right)\left( \overline{z}-4i \right)\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Gọi z=x+yi với \(x,y\in \mathbb{R}\).

Ta có \(\left| z \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=13\,\,(1)\).

Mà \(\left( z-2i \right)\left( \overline{z}-4i \right)=\left( x+yi-2i \right)\left( x-yi-4i \right)=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-8 \right)+(-6x).i\) là số thuần ảo khi \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-8=0\Rightarrow 13+2y-8=0\Rightarrow y=-\frac{5}{2}\).

Từ \(y=-\frac{5}{2}\) thay vào (1) ta được \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ x = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\)

Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.