Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -20;20 \right)\) để phương trình \({{7}^{x}}+m=6{{\log }_{7}}\left( 6x-m \right)\) có nghiệm thực

* Hướng dẫn giải

Đặt: \(t={{\log }_{7}}\left( 6x-m \right)\Leftrightarrow 6x-m={{7}^{t}}\Leftrightarrow 6x-{{7}^{t}}=m\). Khi đó phương trình trở thành \({{7}^{x}}+\left( 6x-{{7}^{t}} \right)=6t\Leftrightarrow {{7}^{x}}+6x={{7}^{t}}+6t\Leftrightarrow x=t\).

Khi đó ta có PT: \(6x-{{7}^{x}}=m\). Xét hàm số \(f\left( x \right)=6x-{{7}^{x}};\ x\in \mathbb{R}\)

Có \(f'\left( x \right)=6-{{7}^{x}}\ln 7\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{7}}\frac{6}{\ln 7}={{x}_{0}}\).

Ta có BBT

Từ BBT ta thấy PT có nghiệm

\(m\le y\left( {{x}_{0}} \right)=6{{\log }_{7}}\frac{6}{\ln 7}-{{7}^{{{\log }_{7}}\frac{6}{\ln 7}}}\approx 0,389\);

Mà \(m\in \left( -20;20 \right);m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -19;-18;...;0 \right\}\)