Cho \(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}\). Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?

* Hướng dẫn giải

Do \(0\le x\le 2020\) nên \({{\log }_{2}}(2x+2)\) luôn có nghĩa .

Ta có \({{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1=3y+{{2}^{3y}}\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+{{2}^{{{\log }_{2}}(x+1)}}=3y+{{2}^{3y}}\) (1)

Xét hàm số \(f(t)=t+{{2}^{t}}\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) và \({f}'(t)=1+{{2}^{t}}\ln 2 \Rightarrow  {f}'(t)>0 \forall t\in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \((1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)=3y \Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)\).

Ta có \(0\le x\le 2020\) nên \(1\le x+1\le 2021\) suy ra \(0\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2021\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{8}}2021\).

Vì \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ 0\,;1\,;2\,;\left. 3 \right\} \right.\).

Vậy có 4 cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp \((0\,;0), (7\,;1) ,(63\,;2),(511\,;3)\) .