Xét các số phức \({{z}_{1}}=x-2+(y+2)i\,\,;{{z}_{2}}=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R},\,\left| {{z}_{1}} \right|=1.\) Phần ảo của số phức \({{z}_{2}}\) có môđun lớn nhất bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{2}}\)

Ta có:

\(\left| {{z}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow \left| x-2+(y+2)i\, \right|\,=1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1\,\left( T \right).\)

Đường tròn \(\left( T \right)\) có tâm \(I\left( 2;-2 \right)\), bán kính R=1, có \(OI=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}\).

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm O, bán kính OM.

Bài yêu cầu: Tìm số phức \({{z}_{2}}\) có: \(\left| {{z}_{2}} \right|={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\) lớn nhất.

Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm \(M(x;y)\in (C)\) sao cho \(OMmax\Leftrightarrow OM=OI+R=2\sqrt{2}+1.\)

\(\frac{\left| \overrightarrow{OM} \right|}{\left| \overrightarrow{OI} \right|}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\overrightarrow {OI} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right){x_I}\\ {y_M} = \left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right){y_I} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {y_M} = \left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\left( { - 2} \right) = - 2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \left( {2 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)